PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS
A. SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks.
Misalnya persamaan:
3x1
+ 4x2 − 2 x3 = 5
x1 − 5x2
+ 2x3 = 7
2x1
+ x2 − 3x3 = 9
Penyelesaian
persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara,
yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi
Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan
dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi
ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut
dengan substitusi balik.
Sebuah
sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai
bentuk :
a11x1
+ a12x2 + ... + a1nxn
= 0
a21x1
+ a22x2 + ... + a2nxn
= 0
am1x1
+ am2x2 + ... + amnxn
= 0
Setiap
sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem
mepunyai x1 = 0 , x2 = 0 , ... , xn
= 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila
mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.
Bentuk Eselon-baris
Matriks
dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :
1.) Di
setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).
2.) Jika ada
baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari
matriks.
3.) Jika ada
baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya
harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.
4.) Jika
kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks
tersebut disebut Eselon-baris tereduksi
Operasi Eliminasi Gauss
Eliminasi
Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga
menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss).
Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi
matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode
penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan
mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan
mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi
balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Contoh:
Diketahui persamaan linear
Tentukan
Nilai x, y dan z
Jawab:
Maka
mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu
Kemudian
lakukan substitusi balik maka didapatkan:
z = 3
X + 0 + 3 =
6
X = 3
jadi
nilai X = 3, Y = 0, Z = 3
Operasi Eliminasi Gauss-Jordan
Eliminasi
Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih
sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss
sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga
dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan
menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam
matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris
tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya
tanpa substitusi balik.
B. MATRIKS
1.
Operasi dalam matriks
Dua buah
matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang
sama dan setiap elemen yang seletak sama. Jika A dan B adalah matriks yang
mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari
penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya.
Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama
dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak.
Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A k
adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya
dengan k. Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A
dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A +
(-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks :
a.) A + B =
B + A
b.) A + ( B
+ C ) = ( A + B ) + C
c.) k ( A +
B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar
Hasil kali
matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat
dituliskan sebagi matriks C = [ cij ] berordo m x n dimana cij
= ai1 b1j + ai2 b2j
+ ... + aip bpj
Ø Matriks Balikan (Invers)
JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa
sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan
dapat dituliskan B = A( B sama dengan invers A ). Matriks B juga
mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan .
Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal
(singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.
Ø Transpose Matriks
Yang dimaksud dengan Transpose dari suatu
matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris
menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.
Rumus-rumus
operasi Transpose sebagai berikut:
1.
2. dan
3. dimana
k adalah skalar
4.
Ø Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris
Matriks Diagonal
Sebuah
matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari
matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks
diagonal.
Matriks
Segitiga
Matriks
segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama
nol. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang di bawah garis diagonal
utama nol. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang di atas garis
diagonal utama nol.
Teorema
· Transpos pada matriks segitiga bawah
adalah matriks segitiga atas, dan transpose pada matriks segitiga atas adalah
segitiga bawah.
· Produk pada matriks segitiga bawah
adalah matriks segitiga bawah, dan produk pada matriks segitiga atas adalah
matriks segitiga atas.
· Matriks segitiga bisa di-inverse
jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol.
· Inverse pada matriks segitiga bawah
adalah matriks segitiga bawah, dan inverse pada matriks segitiga atas adalah
matriks segitiga atas
Matriks
Segitiga
Teorema
·
Jika A dan B
adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah
scalar
maka
adalah simetris A + B dan A - B adalah simetris kA
adalah
simetris
APLIKASI
Operasi Baris Elementer (OBE) sendiri adalah operasi
pengubahan nilai elemen matrik berdasarkan barisnya, tanpa mengubah matriknya.
OBE pada baris ke-i+k dengan dasar baris ke-i dapat dituliskan dengan :
Dimana c :
konstanta pengali dari perbandingan nilai dari elemen ai,i dan ai+k,i
Algoritma :
(1) Masukkan Matrik A dan H
(2) Hitung Matriks Segitiga Bawah
(3) Hitung solusi Matriks A dan H
(1) Masukkan Matrik A dan H
(2) Hitung Matriks Segitiga Bawah
(3) Hitung solusi Matriks A dan H
Listring
Program :
/* Contoh soal Metode Eliminasi Gauss untuk penyelesaian Persamaan Linier Serentak
(PLS). Metode Komputasi 2009 */
/* Nama Program : eliminasi_gauss.cpp */
/* Untuk penyelesaian Matriks n x n */
#include
#include
#include
void main()
{
int a=1, b=3, c=5, j=1,
d=2, e=7, f=16, k=4,
g=4, h=14, i=33, l=10;
float A11, A12, A13, A21, A22, A23, A31, A32, A33, x1, x2, x3, H11, H21, H31;
cout << “\n\nMetode Eliminasi Gauss Matriks untuk PLS\n”;
cout << “========================================\n\n”;
/* Nilai Matriks A (3 x 3) dan H (3 x 1) */
/*********************************************************/
cout << “\nNilai Matriks A (3 x 3)\n”;
cout << “——————————————\n\n”;
cout<<”| 1 3 5 |\n\n”;
cout<<”| 2 7 16 |\n\n”;
cout<<”| 4 14 33 |\n\n”;
cout <<”\nNilai Matriks H (3 x 1)\n”;
cout << “——————————————\n\n”;
cout<<”| 1 |\n\n”;
cout<<”| 4 |\n\n”;
cout<<”| 10 |\n\n”;
cout <<”Tekan Enter untuk lanjutkan proses berikutnya ….\n”;
cout <<”(Matriks A dan H sebelum proses Eliminasi Gauss)\n\n”;
getch();
/* Contoh soal Metode Eliminasi Gauss untuk penyelesaian Persamaan Linier Serentak
(PLS). Metode Komputasi 2009 */
/* Nama Program : eliminasi_gauss.cpp */
/* Untuk penyelesaian Matriks n x n */
#include
#include
#include
void main()
{
int a=1, b=3, c=5, j=1,
d=2, e=7, f=16, k=4,
g=4, h=14, i=33, l=10;
float A11, A12, A13, A21, A22, A23, A31, A32, A33, x1, x2, x3, H11, H21, H31;
cout << “\n\nMetode Eliminasi Gauss Matriks untuk PLS\n”;
cout << “========================================\n\n”;
/* Nilai Matriks A (3 x 3) dan H (3 x 1) */
/*********************************************************/
cout << “\nNilai Matriks A (3 x 3)\n”;
cout << “——————————————\n\n”;
cout<<”| 1 3 5 |\n\n”;
cout<<”| 2 7 16 |\n\n”;
cout<<”| 4 14 33 |\n\n”;
cout <<”\nNilai Matriks H (3 x 1)\n”;
cout << “——————————————\n\n”;
cout<<”| 1 |\n\n”;
cout<<”| 4 |\n\n”;
cout<<”| 10 |\n\n”;
cout <<”Tekan Enter untuk lanjutkan proses berikutnya ….\n”;
cout <<”(Matriks A dan H sebelum proses Eliminasi Gauss)\n\n”;
getch();