NILAI EIGEN
DAN VEKTOR EIGEN
Nilai eigen merupakan nilai karakteristik suatu
matriks. Secara sederhana, nilai eigen merupakan nilai yang mempresentasikan
suatu matriks dalam perkalian dengan suatu vektor,
Untuk mencari nilai λ yang sesuai, terlebih
dahulu dihitung determinan dari (A-λ) dengan metode Sarrus atau ekspansi
kofaktor
polinomial yang didapatkan di atas disebut polinomial
karakteristik. Jika dicari dengan pemfaktoran atau dengan bantuan Matlab,
diperoleh -λ3+4λ2+4λ-16 = (λ+2)(-λ+2)(λ-4)
sehingga didapatkan ketiga nilai eigen yaitu λ
= 2, λ = -2 dan λ = 4
Cara spesial untuk memperoleh polinomial karakteristik matriks 2x2 dan 3x3
ialah:
☺ 2x2 -> det(A) - λ.trace(A) + λ2
Vektor Eigen
Vektor eigen(x) merupakan solusi dari
matriks (A-λ) untuk setiap nilai λ yang ada di mana x ≠ 0.
Misalkan pada matriks A tadi mempunyai tiga nilai eigen, maka vektor eigennya
juga ada tiga. Misalkan untuk λ = 2
SPL di atas dapat diselesaikan dengan metode
Gauss atau Gauss-Jordan. Metode Crammer tak dapat digunakan karena matriks di
atas tidak memiliki solusi sejati (determinannya = 0). Jadi kita hanya dapat
memperoleh solusi trivialnya dengan menyatakan a, b, dan c
misalkan dalam c. Dengan metode Gauss, matriks segitiga atas yang diperoleh
setelah melakukan operasi baris elementer (OBE) yaitu:
jika a, b, c kita nyatakan dalam c,
diperoleh
-0,4b - 0,4c = 0
-10a + 21b - 9c = 0
dari kedua persamaan di atas diperoleh b = -c
dan a = -3c. Jadi vektor eigen untuk λ = 2
Lampiran:
1. script Matlab untuk mencari polinomial
karakteristik dan nilai eigen
% Polinomial Karakteristik dan Nilai Eigen
clc;
clear all;
A=input('Mariks A = ');
clc;
disp('Matriks A =');
disp(A);
dA=det(A);
[ba,ka]=size(A);
syms L;
for j=1:ka
for i=1:ba
C=A-L*eye(ba);
end
end
disp(C);
disp('polinomial karakteristik matriks A=');
disp(det(C));
disp('nilai eigen matriks A=');
disp(eig(A));